[Aide] Démontrer par récurrence

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Pulsar # Posté le 10 septembre 2012 à 09:25



Messages : 259
Exemple 2 : on veut démontrer par récurrence la propriété pour tout entier naturel n et tout réel x strictement positif,
(1 + x)^n >= 1 + nx

help je coince :emoticone:


Neige # Posté le 10 septembre 2012 à 14:07
الحمد لله


Messages : 247
Salam,

(1+x)n >= 1+nx ...................... (*)
Pour n = 0
1er membre : (1+x)0= 1
2nd membre : 1+ 0.x = 1
Donc la relation (*) est vérifiée pour n = 0

Supposons mnt que (*) est juste pour n et démontrons qu'elle reste vraie pour n+1 c.a.d ( 1+x)n+1 >= 1 + (n+1) x
D'après l'hypothèse de récurrence on a
(1+x)n >= 1+nx
Comme x > 0 donc 1+x > 0, Alors
(1 +x) (1+x)n >= (1+x) (1+nx)
(1+x)n+1 >= 1+ nx2 + n + n2 x
= 1 + ( n + 1 + nx )x
Comme n + 1 +nx >= n+1 donc
(1+x)n+1 >= 1+ ( n + 1) x
C.Q.F.D

Voilà, j'espère que je ne me suis pas trompée




http://www.youtube.com/watch?v=AELnLVrMNqc
Pulsar # Posté le 10 septembre 2012 à 19:06



Messages : 259

Citation : neige

Salam,

(1+x)n >= 1+nx ...................... (*)
Pour n = 0
1er membre : (1+x)0= 1
2nd membre : 1+ 0.x = 1
Donc la relation (*) est vérifiée pour n = 0

Supposons mnt que (*) est juste pour n et démontrons qu'elle reste vraie pour n+1 c.a.d ( 1+x)n+1 >= 1 + (n+1) x
D'après l'hypothèse de récurrence on a
(1+x)n >= 1+nx
Comme x > 0 donc 1+x > 0, Alors
(1 +x) (1+x)n >= (1+x) (1+nx)
(1+x)n+1 >= 1+ nx2 + n + n2 x
= 1 + ( n + 1 + nx )x
Comme n + 1 +nx >= n+1 donc
(1+x)n+1 >= 1+ ( n + 1) x
C.Q.F.D

Voilà, j'espère que je ne me suis pas trompée





(1 +x) (1+x)n >= (1+x) (1+nx) comment t'es arrivé ici ? :emoticone:


Neige # Posté le 10 septembre 2012 à 19:28
الحمد لله


Messages : 247

Citation : Pulsar




(1 +x) (1+x)n >= (1+x) (1+nx) comment t'es arrivé ici ? :emoticone:


On a multiplié les deux membres de l'inégalité (1+x)n >= (1+nx) par le terme ( 1 + x ) sachant que ce terme est strictement positif
( la condition " x un nombre réel strictement positif " est rajoutée pour pour garder le sens de l'inégalité tel qu'il est car dans le cas contraire on est obligé de l'inverser, ce qui ne mène pas au résultat demandé )





http://www.youtube.com/watch?v=AELnLVrMNqc
Pulsar # Posté le 11 septembre 2012 à 18:34



Messages : 259
Merci beaucoup pour ton aide ! :emoticone:


Sarouche # Posté le 15 septembre 2012 à 19:21



Messages : 141
Localisation : Bougie <3
Un peu hors sujet : ) mais tu es en quelle année Pulsar ? car je crois pas avoir etudier ça ... ou sinon c'est que les vacances ont eu raison de moi :/ (Je suis en 2as)


Pulsar # Posté le 15 septembre 2012 à 20:35



Messages : 259
Cette année je vais être en première année de SM à Babez :emoticone:

Tu vas étudier la démonstration par récurrence en terminal, n'aie crainte c'est facile. :emoticone:


Mimibelle # Posté le 15 septembre 2012 à 20:47
science et technologie babez


Messages : 434
Localisation : alger
dis moi pulsar tu prepares tes cours dès maintenant vraiment chapeau :emoticone:

bac 2012

 

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